Logarithmische Spirale und ihre Länge L
R = (Basis)^(phase/b)






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Vergleich mit numerischer Rechnung

(Programm im Quelltext dieser Seite zu finden)


Umläufe u:     

Basis:         
Parameter b:      oder Faktor F:
Schrittzahl s: 

             

   Ergebnisse:

   End-Radius R ab Nullpunkt
   End-Radius R/R1

      iterativ       analytisch
   Gesamt-Laenge L
   L / R
   L / (R1)
   L / (2Pi)
   L / (2Pi*R)
   L / (L1)

   Laenge L1
   Laenge L2-L1
   Laenge L-L(int(u)))

   F = Basis^(2Pi/b)   = R1


Folgende Ergebnisse werden oben nicht verarbeitet, können aber oben bei u eingetragen werden:

L/R quantis.:   zugehöriges R
Uml quantis.:   Umläufe Uml bitte in u eintragen


L/R1 = L/F  :   zugehöriges R/R1
Uml quantis.:   Umläufe Uml bitte in u eintragen

         



R = (Basis)^(phase/b) für phase = 0..u*2Pi mit u rational

Spiralenlänge: L = L1*(R-1)/(F-1) = 2Pi*(R-1)/ln(F) = b*(R-1)/ln(Basis),
oder auch für ganze u: L=L1*(Sum(F^n) für n=0 bis (Umläufe-1)),
     z.B. L5=L1*(1+F+F^2+F^3+F^4), F=Faktor=R(u)/R(u-1)
Erster Umlauf: L1 = (F-1)*b/ln(Basis) = 2Pi*(F-1)/ln(F)
Berechnung b aus Faktor: b = 2Pi*ln(Basis)/ln(F)
Berechnung Faktor aus b: Faktor = F = (Basis)^(2Pi/b)
Länge normiert in R1=a^(2Pi/b)=F: Li = L/F = 2Pi/ln(F)*((R/F) - 1/F)
Beispiel: Basis=e, F=2, Li=b*(Ri-0.5), L(i+1)/Li= (16-0.5)/(8-0.5)=2.067
ohne Normierung gleiches L-Verhältnis L(i+1)/Li= (32-1)/(16-1) = 2.067, weil um Faktor F größere R
Bei jeder R-Verdopplung kommt innen immer eine Spirale dazu, also eine Einseinheit. Die Gerade L=f(R) ist in x um 1 nach rechts verschoben. Ohne die -1 in (R-1) wäre L(i+1)/Li = F = const.

Konstanten:
2.7182818284590452353602874713527 = e
1.6180339887498948482045868343656 = phigold = (sqrt(5)+1)/2
4.669201609102990671853203820 = delta/Feigenbaum
2.5029078750958928222839 = alpha/Feigenbaum
137.036 = Feinstrukturk.
6.283185307179586476925286766559 = 2Pi
3.1415926535897932384626433832795 = Pi
7.389056098930650227230427460575 = e^2
15.15426224147926418976043027262 = e^e
0.36787944117144232159552377016146 = 1/e
0.6922027041603439407918677636835 = (1/e)^(1/e)
1.4446635270126840720352160449 = 1/((1/e)^(1/e))

weitere Ergebnisse:

F = 2, ganze R/R1 = 1,2,3,.. bei L/R1 = 4.5, 13.5, 22.5, 32, 41, 50, 59, 68, 77, 86, 95, 104, 113.5 ...Differenz = ca. 9.045

a = e, b = 9.06472.. bzw. Faktor = 2 mit u=7.129900761403599 erzeugt eine Länge,
die genau gleich R*9 ist: L / R = 9
a = e, b = 13.0570.. bzw. Faktor = phigold mit mit u>>1 erzeugt eine (L2-L1)-Länge,
die genau gleich b ist: (L2-L1) = b
a = e, b bzw. Faktor = beliebig mit mit u>>1 erzeugt eine Länge,
die genau gleich b*R ist: L / R = b
a = e, b = -2Pi bzw. Faktor = 1/e mit u>>1 erzeugt eine Länge,
die genau gleich 2Pi ist: L /(2Pi) = 1
a = e, b = 2Pi   bzw. Faktor = e mit u>>1 erzeugt eine Länge,
die dem Umkreis entspricht: L /(2Pi*R) = 1
a = e, b = 2Pi/2 bzw. Faktor = e^2 mit u>>1 erzeugt eine Länge,
die dem halben Umkreis entspricht: L /(2Pi*R) = 0.5
a = e, b = 2Pi/e bzw. Faktor = e^e mit u>>1 erzeugt eine Länge,
die 1/e vom Umkreis entspricht: L /(2Pi*R) = 1/e
a = e, b = 2Pi*e bzw. Faktor = 1/((1/e)^(1/e)), wobei dies
ein Extremwert in x^x ist, mit u>>1 erzeugt eine Länge,
die dem e-fachen vom Umkreis entspricht: L /(2Pi*R) = e

dies gilt natürlich auch unabhängig von a und b=f(a,F), sofern die Spiralen gleich sind (gleicher Faktor).


Links: Umrechnung verschiedener b ohne Kenntnis von Faktor