Logamentus x = LM(A), wobei A = x^x

Startwert:
x = ln(A)/2 (für A > 1000) oder x = ln(A) (für 1000 > A > e*e)
oder x = 1 (für A < e*e)

Newton-Verfahren:
Schleife: x = (x + ln(A))/(1.0 + ln(x));

Hinweis:
Die Funktionen x^(1/x) und x^x haben bei der Eulerschen Zahl x=e bzw. x=1/e Extremwerte:

Herleitung Newton-Rekursion:

A = x^x = exp(ln(x^x)) = exp(x*ln(x))

Erste Ableitung:

(x^x)' = exp(x*lnx) * (x*lnx)'
(x^x)' = exp(x*lnx) * (lnx + 1)
(x^x)' = x^x * (ln(x) + 1)

Newtonverfahren:

x(i+1) = x(i) - f(x(i))/f(x(i))'
f(x) = 0 = x^x - A

x = x - (x^x - A) / (x^x * (ln(x) + 1))
x = x - (1 - A/x^x) / (ln(x) + 1)
x = x - (1 - 1) / (ln(x) + 1)
Hauptnenner:
x = ((x*(ln(x) + 1) - 0) / (ln(x) + 1)
x = (x*ln(x) + x) / (ln(x) + 1)

Ergebnis (Iterationsschleife):

x = (x + ln(A)) / (1 + ln(x))
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