Logamentus x = LM(A), wobei A = x^x


Reeller Logamentus

(Programm im Quelltext dieser Seite zu finden)


A = x^x :    
Genauigkeit: 

               

Nach Iterationen wie unten erklärt:

               

   Ergebnis:

   x = LM(A) und Fehlertoleranz
   benötigte Iterationszahl




Startwert:
x = ln(A)/2 (für A > 1000) oder x = ln(A) (für 1000 > A > e*e)
oder x = 1 (für A < e*e)

Newton-Verfahren:
Schleife: x = (x + ln(A))/(1.0 + ln(x));

Anderes Verfahren:
Schleife:
     x0 = ln(A)/ln(x);
     xm0 = sqrt(x*x0);
     x1 = A^(1/xm0);
     x2 = A^(1/x1);
     xm = sqrt(x1*x2);
     x = ln(A)/ln(xm);
     E = x^x;
     if (abs(E/A-1)/Genauigkeit < 1.0) break;

Für A < 0.69220270.. = (1/e)^(1/e) kein x ermittelbar

Konstanten:
1.6180339887498948482045868343656 = phigold = (sqrt(5)+1)/2
2.7182818284590452353602874713527 = e
7.389056098930650227230427460575 = e^2
15.15426224147926418976043027262 = e^e
20.085536923187667740928529654582 = e^3
8103.0839275753840077099966894328 = e^9
0.065988035845312537076790187596846 = 1/(e^e)
0.13533528323661269189399949497248 = 1/(e^2)
0.36787944117144232159552377016146 = 1/e
0.6922027041603439407918677636835 = (1/e)^(1/e)
1.4446635270126840720352160449 = 1/((1/e)^(1/e))



Hinweis:
Die Funktionen x^(1/x) und x^x haben bei der Eulerschen Zahl x=e bzw. x=1/e Extremwerte:





Eulersche Zahl e als Limes in x^x :    xhx2022.htm


Herleitung Newton-Rekursion:

A = x^x = exp(ln(x^x)) = exp(x*ln(x))

Erste Ableitung:

(x^x)' = exp(x*lnx) * (x*lnx)'
(x^x)' = exp(x*lnx) * (lnx + 1)
(x^x)' = x^x * (ln(x) + 1)

Newtonverfahren:

x(i+1) = x(i) - f(x(i))/f(x(i))'
f(x) = 0 = x^x - A

x = x - (x^x - A) / (x^x * (ln(x) + 1))
x = x - (1 - A/x^x) / (ln(x) + 1)
x = x - (1 - 1) / (ln(x) + 1)
Hauptnenner:
x = ((x*(ln(x) + 1) - 0) / (ln(x) + 1)
x = (x*ln(x) + x) / (ln(x) + 1)

Ergebnis (Iterationsschleife):

x = (x + ln(A)) / (1 + ln(x))
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