Die Funktion x^x beinhaltet die Eulersche Zahl e = 2.718281828.. nicht nur als Extremwert,
sondern auch als Grenzwert

Für x gegen Unendlich gilt:

(x^x) / ((x-1)^(x-1)) / (x-0.5) = e
e = 2.718281828..    Eulersche Zahl

x kann beliebig gebrochen sein, aber die Schrittweite 1 muss beibehalten werden.

gefunden von Frithjof Müller 		   

Es folgte daraus die Vermutung:

lim [(1+1/n)^(n+1/2)] = e konvergiert besser als lim [(1+1/n)^n] = E

gefunden von Gabi Mueller

Beweis fuer den gleichen Grenzwert e (= E = 2.718281828459..):

   ((n+1)^(n+1))/(n^n)/(n+0.5)

  = ((n+1)/n)^n *(n+1)/(n+0.5)
  =   (1+1/n)^n *(n+1)/(n+0.5)
  =      E      *(n+1)/(n+0.5)

  Der limes von (n+1)/(n+0.5) geht gegen 1 fuer n gegen Unendlich.

  Aus (n+1)/(n+0.5) = ((n+1)/n)^k folgt
  k = ln((n+1)/(n+0.5))/ln((n+1)/n)
  Ab ca. n = 1.0E10 ist k=0.5 auf 10 Kommastellen genau.

Numerischer Nachweis der besseren Konvergenz:

Die Konvergenz mit einer Potenz (n +- delta) mit delta ungleich 0.5 ist immer schlechter.
n von :   n bis:

delta :

       

Ebenso zeigt es sich, dass die analoge Ergänzung auf die exp-Funktion uebertragbar ist. Man kann numerisch nachweisen, dass

lim [(1+x/n)^(n+x/2)] = exp(x) wesentlich besser konvergiert als lim [(1+x/n)^n] = Exp(x)

n von :   n bis:

delta :

x-Wert: für exp(x) = (1 + x/n)^(n+delta*x)

       



Hinweis:
Die Funktionen x^(1/x) und x^x haben bei der Eulerschen Zahl x=e bzw. x=1/e Extremwerte:



Weiteres zu x^x und seiner Umkehrfunktion:
LogamentusNewton.htm

 

Ergänzung: Es ist analytisch ableitbar, dass die Potenz mit der besten Konvergenz weitere Summanden hat, und zwar

 

 



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